第二章 點、直線、平面之間的位置關系

（一）  平面的基本性質

1.平面——無限延展，無邊界

1.1三個定理與三個推論

公理1：如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內。

用途：常用于證明直線在平面內.

圖形語言：                            符號語言：

公理2：不共線的三點確定一個平面.  圖形語言：

推論1：直線與直線外的一點確定一個平面.  圖形語言：

推論2：兩條相交直線確定一個平面.  圖形語言：

推論3：兩條平行直線確定一個平面.  圖形語言：

用途：用于確定平面。

公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.

用途：常用于證明線在面內，證明點在線上.

圖形語言：                            符號語言：

形語言，文字語言，符號語言的轉化：

（二）空間圖形的位置關系

1.空間直線的位置關系：

1.1平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：

1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。

1.3異面直線：（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線——異面直線；

            （2）判定定理：連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線是異面直線。

圖形語言：  符號語言：

1.4異面直線所成的角：（1）范圍：；（2）作異面直線所成的角：平移法.

如右圖，在空間任取一點O，過O作，則所成的角為異面直線所成的角。特別地，找異面直線所成的角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角.

2.直線與平面的位置關系：

圖形語言：

3.平面與平面的位置關系：

（三）平行關系（包括線面平行，面面平行）

1.線面平行：

①定義：直線與平面無公共點.

②判定定理：（線線平行線面平行）【如圖】

③性質定理：（線面平行線線平行）【如圖】

④判定或證明線面平行的依據：（i）定義法（反證）：（用于判斷）；（ii）判定定理：“線線平行面面平行”（用于證明）；（iii）“面面平行線面平行”（用于證明）；（4）（用于判斷）；

2.線面斜交：

①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內射影的夾角�！救鐖D】 于O，則AO是PA在平面內的射影， 則就是直線PA與平面所成的角。

范圍：，注：若，則直線與平面所成的角為；若，則直線與平面所成的角為。

3.面面平行：

①定義：；

②判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；

符號表述：    【如下圖①】

    圖①               圖②

推論：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行

符號表述： 【如上圖②】

判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.【如右圖】

③判定與證明面面平行的依據：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2

④面面平行的性質：（1）（面面平行線面平行）；（2）；（面面平行線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等�！救鐖D】

（四）垂直關系（包括線面垂直，面面垂直）

1.線面垂直

①定義：若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。

  符號表述：若任意都有，且，則.

②判定定理：（線線垂直線面垂直）

③性質：（1）（線面垂直線線垂直）；（2）；

④證明或判定線面垂直的依據：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）（較常用）；（4）；（5）（面面垂直線面垂直）常用；

⑤三垂線定理及逆定理：

（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線段中，（1）斜線相等射影相等；（2）斜線越長射影越長；（3）垂線段最短�！救鐖D】；

（II）三垂線定理及逆定理：已知，斜線PA在平面內的射影為OA，，

  ①若，則——垂直射影垂直斜線，此為三垂線定理；

  ②若，則——垂直斜線垂直射影，此為三垂線定理的逆定理；

  三垂線定理及逆定理的主要應用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】

3.2面面斜交

①二面角：（1）定義：【如圖】

范圍：

②作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定義：若二面角的平面角為，則；

（2）判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

（線面垂直面面垂直）

（3）性質：①若，二面角的一個平面角為，則；

②（面面垂直線面垂直）；

③.          ④

二、立體幾何常見題型歸納例講

1、概念辨析題：

（1）此題型一般出現在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。

（2）對于判斷線線關系，線面關系，面面關系等方面的問題，必須在熟練掌握有關的定理和性質的前提下，利用長方體，正方體，實物等為模型來進行判斷。你認為正確的命題需要證明它，你認為錯誤的命題必須找出反例。

（3）相關例題：課本和報紙上出現很多這樣的題型，舉例說明如下：

例：（04年北京卷）設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個說法：①；②；③

     ④，說法正確的序號是：_________________

2、證明題。證明平行關系，垂直關系等方面的問題。

（1）基礎知識網絡：

請根據以上知識網絡圖，寫出相關定理的圖形語言與符號語言.

（2）相關例題：

例1（06廣州市高一質量抽測）如右圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：B1D1⊥平面CAA1C1

例2.如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到點，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積（答案：）

3、計算題。包括空間角（異面直線所成的角，線面角，二面角）和空間幾何體的表面積、體積的計算。

（1）對于空間角和空間距離的計算，關鍵是做好“三步曲”：step1：找；step2：證；step3：計算。

1.1求異面直線所成的角：

解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法

  二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；

  三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；

1.2求直線與平面所成的角：關鍵找“兩足”：垂足與斜足

 解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內的射影的夾角（注意三垂線定理的應用）；

  二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；

 三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。

1.3求二面角的平面角

解題步驟：一找：根據二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；

 二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；

 三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。

（2）對于幾何體的表面積、體積的計算，關鍵是搞清量與量之間關系，熟練應用公式進行計算。已知三視圖，求幾何體體積。平面圖形直觀圖面積與原圖形面積的互相轉化。

（3）相關例題：

例1.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求證：（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）求PC與平面PBD所成的角；

例2．一個水平放置的三角形的斜二側直觀圖是等腰直角

三角形，若，那么原DABO的面積是（   ）

A．         B．        C．         D．

例3.（06深圳寶安中學期末考）如圖，為一個幾何體的正視圖，側視圖和俯視圖為全等的等腰梯形，上、下底邊長分別為，。俯視圖中，內、均外為正方形，邊長分別為，，幾何體的高為，求此幾何體的表面積和體積。

答案S全面積=20+12,

例4.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為 （B）                       

(A) 90°              (B) 60°

(C) 45°              (D) 30°

例5.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，點E是PD的中點.（1）求證：；（2）求證：平面AEC；（3）若，求三棱錐E－ACD的體積；（4）求二面角E－AC－D的大小.（單元考題）